Kranas_Lattas

__**Φάση 1η**__ Δείτε το παρακάτω βίντεο, μόνο αν δεν θυμάστε τις κωνικές τομές.

media type="youtube" key="0A7RR0oy2ho?version=3" height="390" width="640"

Αντί για το βίντεο, για πιο σύντομα, μπορείτε να επισκεφτείτε την ιστοσελίδα []

σελίδα που ετοιμάζεται για το Λύκειο

Conic Section Explorer Προς τους μαθητές: Ανοίξτε τον παραπάνω σύνδεσμο και πειραματιστείτε με τις παραμέτρους. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε μία τουλάχιστον από τις γνωστές σας κωνικές τομές: κύκλο, έλλειψη, παραβολή και υπερβολή. Προσέξτε σε κάθε περίπτωση να εμφανίζεται ολόκληρη η κωνική στο δεξί παράθυρο της εφαρμογής. Συμπληρώστε στο φύλλο εργασίας τη θέση της τέμνουσας του κώνου (με το μπλε χρώμα) σε σχέση με τη γεννέτηρα ή τη βάση του κώνου.

Παρακάτω έχουμε ένα video που αναφέρεται στην ανακλαστική ιδιότητα των κωνικων τομών. media type="youtube" key="jvUzRCiFRUI?version=3" height="390" width="640" Το σενάριο **__ ΣΕΝΑΡΙΟ __****__ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ __**

ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: Θα ασχοληθούμε με άλγεβρα-αναλυτική γεωμετρία.

ΘΕΜΑ: Θα μελετήσουμε την κατασκευή των κωνικών τομών από τον ορισμό τους χρησιμοποιώντας λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας, το οποίο θα εμφανίσει την κατασκευή του γεωμετρικού τόπου, θα μεταβάλλουμε τις παραμέτρους και θα βγάλουμε συμπεράσματα για την καμπύλη που σχηματίζεται.

ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ: Θα δοθεί το πρόβλημα της κατασκευής της παραβολής, έλλειψης, υπερβολής, έτσι όπως την αναφέρει το σχολικό εγχειρίδιο και με κατασκευή βήμα –βήμα μέσω του λογισμικού θα εμφανιστεί το σύνολο των σημείων με τη συγκεκριμένη ιδιότητα.

**__ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ__** ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ: Χρήση του λογισμικού Sketchpadαξιοποιώντας τη δυνατότητα του για απευθείας κατασκευή ΓΠ, συνεπώς εξοικονόμηση χρόνου για μετασχηματισμούς, παραμετροποιήσεις και εμφάνιση άμεσων αποτελεσμάτων. ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΗ ΑΞΙΑ: Με το λογισμικό πειραματιζόμαστε σε διερευνητική κατεύθυνση και αξιοποιούμε τις δυνατότητές του για δυναμικό χειρισμό των καμπυλών με αξιοποί ηση των εργαλείων της σχεδίασης ίχνους σημείων. Θα χρησιμοποιήσουμε πολλαπλές αναπαραστάσεις δυναμικά διασυνδεδεμένες μέσω του λογισμικού. Η διαδικασία προσφέρεται διότι οι μαθητές: Σε όλη την παράδοση του κεφαλαίου των κωνικών τομών μένουν στον φορμαλισμό:ορισμός–εξίσωση-ιδιότητες χωρίς την κατασκευή τους, η οποία είναι πραγματικά κενή σελίδα στο σχολικό βιβλίο. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ: Θεωρητικά εντάσσεται σε κατεύθυνση οικοδόμησης-κατασκευής της γνώσης. Η δραστηριότητα είναι καθοδηγούμενη με κάποια ελευθερία στις τιμές των παραμέτρων (μεταβολέων) και το ρόλο που παίζουν στην γραφική παράσταση της κωνικής, στις αυξομειώσεις και στις μετατοπίσεις. Ακολουθούμε διερευνητική μέθοδο με πειραματισμούς, οι μαθητές ανακαλύπτουν μόνοι τους τις ιδιότητες των κωνικών τομών και εποπτικά βήμα-βήμα οικοδομούν συμπεράσματα. ‍ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ: Οι προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών είναι οι έννοιες καμπύλη, κύκλο, απόσταση σημείων. Οι μαθητές θα ξέρουν τα βασικά εργαλεία κυρίως με την χρήση των μεταβολέων (δρομέων) που θα χρησιμοποιήσουν στο Sketchpad. Σε περίπτωση που οι μαθητές δεν γνωρίζουν τα εργαλεία θα απαιτηθεί μια διδακτική ώρα με φύλλο εργασίας για να πειραματισθούν και να εξοικειωθούν με αυτά. __Ανάλυση Δραστηριότητας__ 1.Ανοίγουμε το λογισμικό Sketchpad και από το μενού γράφημα επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων. 2.Κατασκευάζουμε την παράμετρο pτης παραβολής: Επιλέγουμε ένα σημείο στον άξονα χχ΄ και φέρνουμε κάθετη ευθεία σε αυτόν. Παίρνουμε σημείο Α στην ευθεία και κατασκευάζουμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ. Αποκρύπτουμε την ευθεία και ο μεταβολέας p είναι έτοιμος. 3.Απο το σημείο Α φέρνουμε κάθετη στον άξονα ψψ΄ και ονομάζουμε Ε το σημείο τομής (Εστία). Αποκρύπτουμε την κάθετη ευθεία. 4 Επιλέγουμε το σημείο Ε και τον άξονα χχ΄ και κάνοντας ανάκλαση βρίσκουμε το συμμετρικό σημείο του Ε έστω Δ. Φέρνουμε την κάθετη ευθεία δ στο ψψ ΄ στο σημείο Δ και έτσι φτιάχνουμε την διευθετούσα. 5.Παίρνουμε τυχαίο σημείο Κ στο τμήμα ΟΕ και μετράμε την απόσταση ΚΔ (απόσταση σημείου από διευθετούσα ). 6.Φέρνουμε κάθετη στον ψψ΄ στο σημείο Κ και φτιάχνουμε κύκλο με κέντρο Ε και ακτίνα ΚΔ. 7.Ονομάζουμε Μ και Μ΄ τα σημεία τομής του κύκλου και της κάθετης στο σημείο Κ. 8.Μετρήστε τις αποστάσεις ΜΕ και d(M,δ) .Τι παρατηρείτε; 9.Καντε τις μετρήσεις ΜΕ και d(M΄,δ) .Τι παρατηρείτε; 10. Από τις παραπάνω μετρήσεις έχουμε σημεία που ισαπέχουν από την εστία Ε και την διευθετούσα δ; 11.Απομένει να πάρουμε και άλλα τέτοια σημεία με αυτήν την ιδιότητα. Με δεξί κλικ στα σημεία Μ και Μ΄ επιλέγουμε εμφάνιση ίχνους και στο σημείο Κ με δεξί κλικ επιλέγουμε προσθήκη κίνησης. Αν θέλουμε για ευκολία από το μενού επεξεργασία επιλέγουμε κατασκευή κουμπιού για να σταματάμε την κίνηση όποτε θέλουμε. Επίσης μπορούμε να φτιάξουμε κουμπί για απόκρυψη των ιχνών, ώστε αλλάζοντας την παράμετρο να μην επικαλύπτεται η καινούργια παραβολή με την παλιά. 12 Μπορ‍είτε να επαναλάβετε το φύλλο εργασίας αλλά για κατασκευή της παραβολής με εστία στον ψψ΄
 * Αλλάζουν την παράμετρο p στην παραβολή και διαπιστώνουν τι σημαίνει η θετική και αρνητική τιμή στην γραφική της παράσταση.
 * Γενικεύουν τα συμπεράσματα τους για τον τρόπο που οι συντελεστές α, β, γ επηρεάζουν τη μελέτη και τη ΓΠ της έλλειψης και της παραβολής.

__**Κατασκευή έλλειψης**__ 1.Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και μετράμε το μήκος του. Αυτό είναι η παράμετρος 2α (σταθερό άθροισμα). 2. Επιλέγουμε ένα μεταβλητό σημείο Σ στο παραπάνω τμήμα. 3.Κατασκευάζουμε τις εστίες Ε και Ε΄ επιλέγοντας δύο σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή Ο στον άξονα χχ΄. 4. Με κέντρο Ε και ακτίνα το μήκος ΚΣ και με κέντρο το Ε΄ και ακτίνα ΣΛ κάνουμε δεύτερο κύκλο και ονομάζουμε Μ και Μ΄ τα σημεία τομής των παραπάνω κύκλων. 5.Μετράμε τις αποστάσεις ΜΕ και ΜΕ΄και συγκρίνουμε το άθροισμα ΜΕ+ΜΕ΄ με το μήκος 2α .Τι παρατηρείτε; 6.Απο την παραπάνω παρατήρηση τι συμπέρασμα βγαίνει για τα σημεία Μ και Μ΄; 7. Απομένει να κατασκευάσουμε και αλλά σημεία της έλλειψης. Κάνουμε με δεξί κλικ στα σημεία Μ και Μ΄ επιλογή στην σχεδίαση ίχνους και στο σημείο Σ με δεξί κλικ δίνουμε επιλογή για κίνηση σημείου. 8.Φτιάχνουμε κουμπί για πρόσθεση της κίνησης και απόκρυψη των ιχνών για να πειραματιστούμε με την αλλαγή του μήκους ΚΛ και ΕΕ΄. __Κατασκευή Υπερβολής __ 1.Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και μετράμε το μήκος του. Αυτό είναι η παράμετρος 2α (σταθερή διαφορά). 2.Επιλέγουμε ένα μεταβλητό σημείο Σ στην προέκταση του παραπάνω τμήματος. 3.Κατασκευάζουμε τις εστίες Ε και Ε΄ επιλέγοντας δύο σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή Ο στο άξονα χχ΄. 4 Με κέντρο Ε και ακτίνα το μήκος ΚΣ και με κέντρο το Ε΄και ακτίνα ΣΛ κάνουμε δεύτερο κύκλο και ονομάζουμε Μ και Μ΄τα σημεία τομής των παραπάνω κύκλων. 5.Μετράμε τις αποστάσεις ΜΕ και ΜΕ΄και συγκρίνουμε την διαφορά ΜΕ-ΜΕ΄ με το μήκος 2α. Τι παρατηρείτε; 6.Απο την παραπάνω παρατήρηση τι συμπέρασμα βγαίνει για τα σημεία Μ και Μ΄; 7. Απομένει να κατασκευάσουμε και αλλά σημεία της υπερβολής. Kάνουμε με δεξί κλικ στα σημεία Μ και Μ΄επιλογή στην σχεδίαση ίχνους και στο σημείο Σ με δεξί κλικ δίνουμε επιλογή για κίνηση σημείου. Για να φτιάξουμε τον δεύτερο κλάδο της υπερβολής, φτιάχνουμε κύκλους με κέντρα Ε και Ε΄και ακτίνες Μ1Ε=ΣΛ και Μ2Ε=ΚΛ και επιλέγουμε ίχνος στα σημεία Μ1και Μ2. 8.Φτιάχνουμε κουμπί για πρόσθεση της κίνησης και απόκρυψη των ιχνών, για να πειραματιστούμε με την αλλαγή του μήκους ΚΛ και ΕΕ΄. 9.Επαναλαμβάνουμε την κατασκευή με εστίες στον ψψ΄